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Teniendo en cuenta que “medir es realizar una comparación indirecta, donde se ha seleccionado de antemano la unidad a utilizar que funcionará como referencia única a la hora de intentar medir cualquier objeto” , el presente trabajo intentará responder la siguiente pregunta: ¿cómo enseñar la medida y la unidad sin caer en una “aritmetización de la medida” en el contexto del ámbito escolar?

La idea será analizar cómo proponen el Diseño Curricular y los NAP enseñar el tema propuesto, cómo lo presentan los manuales de texto y cómo se da en el aula. El objetivo será analizar las estrategias elegidas; criticar las consideradas no propicias para la aprehensión del contenido, en función de la perspectiva planteada por el DC (y justificada a lo largo de todo el cuatrimestre en el trabajo del “Seminario de Matemática en el Segundo Ciclo”), y tomar las que ayuden a conformar una estrategia de enseñanza útil para que los alumnos aprendan que “elegir una unidad adecuada supone plantearse una relación razonable entre la cantidad a elegir y la unidad elegida.” A fin de facilitar y enfocar la tarea, se ha tomado la decisión de enfocarse en un grado en particular: quinto. La razón radica básica, y honestamente, en que el material que ha podido recogerse, tanto en bibliotecas como, fundamentalmente, en una institución educativa (diálogo y planificación de una docente) eran de este grado. Por esta razón, parece pertinente mencionar los objetivos con respecto a la medida que presenta el Diseño para este Segundo Año del Segundo Ciclo:

• Comparación de longitudes mediante diferentes recursos: superposiciones, usando instrumentos, o recurriendo al cálculo.
• Uso del kilómetro y del milímetro como unidades que permiten medir longitudes más extensas o más pequeñas.
• Relaciones entre metro, centímetro, kilómetro y milímetro.
• Uso de mililitros y hectolitros como unidades de capacidad mayores y menores que el litro.
• Resolución de problemas que impliquen la determinación de duraciones. Cálculos usando horas, minutos y segundos.
• Uso del transportador para medir y comparar ángulos. Uso del grado como unidad de medida de los ángulos.
• Sistema sexagesimal de medición de ángulos.
• Resolución de problemas que demanden cálculos aproximados de longitudes, capacidades, pesos y tiempos.

Cabe aclarar que nuestro trabajo dejará de lado el aprendizaje de la medición de ángulos, ya que, si bien corresponde al tema que nos compete, no hemos abordado esta temática a lo largo del Seminario, ni en la bibliografía que utilizamos para trabajar.

Es pertinente transcribir fragmentos de lo enunciado en el Diseño Curricular de la C.A.B.A., ya que es éste uno de los documentos con mayor autoridad en cuanto a qué enseñar en la escuela y cómo hacerlo: <blockquote>La medida es una herramienta que responde a la necesidad de cuantificar ciertos atributos de los objetos y de las formas. Supone por ello un contexto en el que los alumnos atribuyen sentido a los números racionales. Muchos de los problemas vinculados a la medición funcionan entonces como articuladores entre la aritmética y la geometría, pero también existe una problemática específica que la escuela se propone abordar. Es un objetivo del ciclo que los niños se enfrenten con problemas reales de medición y que lleguen a construir una representación interna que permita dar cuenta del significado de cada una de las magnitudes que se estudian, como también que puedan elaborar una apreciación de los diferentes órdenes de cada magnitud (cuánto es 1 m, 1 km, 1 kg, 1 mm, etcétera). Una primera cuestión es poner a los niños en contacto con la realización efectiva de mediciones. Esta tarea los llevará a usar instrumentos convencionales y no convencionales tanto para establecer diferentes medidas (de longitud, de peso, de capacidad, de superficie) como para realizar comparaciones entre diferentes objetos. (“¿Cómo hacer, si no se dispone de una balanza, para saber cuál de dos objetos es más pesado?”) (…) Varias cuestiones serán discutidas con los alumnos a partir de actividades de medición efectiva con diferentes instrumentos:

• medir es comparar con una unidad, por lo tanto, el resultado de la medición depende de la unidad elegida; de ahí la importancia de explicitar cuál fue la unidad considerada;
• es imposible medir exactamente, la medición siempre es aproximada; sin embargo, hay procedimientos que garantizan un mejor ajuste;
• el instrumento que se utilice depende del objeto por medir (por ejemplo, no es apropiado medir el largo del patio con una regla, o la capacidad de un balde con un pocillo de café, porque se cometerían demasiados errores). Si el instrumento del que se dispone no es muy apropiado, hay que extremar el cuidado del procedimiento utilizado. Así, la necesidad de medir el largo del patio con una regla que tiene 1 m de largo, por ejemplo, llevará a discutir con los alumnos acerca de cómo realizar las iteraciones y cómo garantizar que se mantengan en línea recta. Es necesario comprender cómo funciona cada instrumento.

(…) Los problemas relativos a cambios de unidades –ya sea que se trate o no con unidades convencionales– son particularmente costosos para los alumnos. Un trabajo profundo en este sentido será necesario. En primer lugar, los niños deberán establecer, a propósito de diferentes magnitudes, qué relación existe entre las transformaciones de la unidad y las medidas correspondientes. (…) Por otra parte, es necesario asumir desde la enseñanza la comprensión de la estructura de los diferentes sistemas de medición que, al mismo tiempo, pueden resultar un soporte interesante para la comprensión de la escritura decimal de los números racionales. Para ello, deberán realizarse actividades que apunten a establecer tanto la organización decimal de estos sistemas como a inscribir la problemática del cambio de unidad en el trabajo de proporcionalidad. Efectivamente, las medidas de diferentes longitudes expresadas en kilómetros, por ejemplo, son proporcionales a las correspondientes medidas expresadas en centímetros. Esto no es visible si los alumnos realizan reducciones “sueltas” en las que tienden a recordar cuál es el mecanismo a utilizar en lugar de centrarse en los significados con los que están tratando. Inscribir la problemática de las reducciones en la de la proporcionalidad hace observable el funcionamiento de las mismas y, en consecuencia, contribuye a que los alumnos construyan mejores puntos de apoyo para su realización. Los niños deben construirse una representación de los distintos órdenes de magnitud. Para ello son centrales las actividades de estimación que, al mismo tiempo, permitirán controlar el trabajo con los sistemas de unidades.</blockquote>

Para resumir, podemos determinar acerca de la enseñanza de la medida:

• Objetivos: * Promover el descubrimiento de atributos medibles en objetos y acontecimientos, descentrándolos de aspectos perceptivos que tienden a confundir su captación. * Comprender el significado de las distintas magnitudes. * Comprender qué es medir. * Comprender la necesidad de unidades y utilizarlas con propiedad. * Usar instrumentos de medición apropiados. * Leer y elaborar escalas. * Estimar cantidades. * Juzgar la razonabilidad de los resultados de la medición. * Operar con cantidades.

• Conceptos matemáticos a aprender: * Existen atributos (magnitudes) de objetos y acontecimientos que pueden ser cuantificados. * Medir es comparar cantidades de una misma magnitud. * Para medir es necesario disponer de una unidad constante. * Es posible usar distintas unidades para medir. * A mayor unidad para una misma cantidad corresponde menor medida. * La medición es precisa, pero por lo general no exacta. Existe un error tolerable para cada medición.

• Estrategias para medir: Se puede medir por: a) comparación directa: a > b ó a < b ó a = b, el niño opera a simple vista o por superposición de las cantidades a comparar; b) comparación indirecta: el niño utiliza instrumentos (al principio el mismo cuerpo o partes de él) o la estimación (para realizar ésta última es necesario que haya internalizado «referentes» como elementos de comparación). Se distinguen dos momentos: 1. el niño utiliza un elemento b (objeto total, puede ser el cuerpo) como intermediario: a. a = b y b = c implica a =c. 2. el niño utiliza unidades arbitrarias y convencionales. Al inicio cubre con unidades la cantidad a medir, luego pasa a transportar una unidad iterándola.

De acuerdo a lo dicho en el NAP 5, la escuela ofrecerá situaciones de enseñanza que promuevan en los alumnos y alumnas durante el Segundo Ciclo de EGB/ Nivel Primario: <blockquote>(…) -la confianza en las propias posibilidades para resolver problemas y formularse interrogantes.

-Una concepción de matemática según la cual los resultados que se obtienen son consecuencia necesaria de la aplicación de ciertas relaciones.

-La disposición para defender sus propios puntos de vista, considerar ideas y opiniones de otros, debatirlas y elaborar conclusiones, aceptando que los errores son propios de todo proceso de aprendizaje.

-La interpretación de información presentada en forma oral o escrita –con textos, tablas, dibujos, fórmulas, gráficos–, pudiendo pasar de una forma de representación a otra si la situación lo requiere.

-La elaboración de procedimientos para resolver problemas atendiendo a la situación planteada.

-La interpretación y producción de textos con información matemática avanzando en el uso del lenguaje apropiado.

-La comparación de las producciones realizadas al resolver problemas, el análisis de su validez y de su adecuación a la situación planteada.

-La producción de conjeturas y de afirmaciones de carácter general, y el análisis de su campo de validez.

-La explicitación de conocimientos matemáticos, estableciendo relaciones entre ellos.

-El reconocimiento y uso de los números naturales, de expresiones fraccionarias y decimales y de sus propiedades a través de distintas representaciones.

-La comprensión y el uso de la organización decimal del sistema de numeración.

-El reconocimiento y el uso de las operaciones con distintos significados y en distintos campos numéricos en la resolución de problemas.

-La producción de enunciados sobre relaciones numéricas y la discusión sobre su validez, avanzando desde las argumentaciones empíricas hacia otras más generales.

-El análisis y el uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular en forma exacta y aproximada.

-El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en la resolución de problemas.

-La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad.

-El análisis y el uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas.

-El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en situaciones problemáticas que requieran:

* ubicar objetos en el espacio y/o sus representaciones en el plano en función de distintas referencias

* interpretar y elaborar croquis teniendo en cuenta las relaciones espaciales entre los elementos representados.

-La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad, en situaciones problemáticas que requieran:

* estimar y medir efectivamente cantidades eligiendo el instrumento y la unidad en función de la situación

* comparar diferentes formas de escribir una misma cantidad utilizando distintas expresiones (descomposiciones aditivas, distintas unidades).

-El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran

* calcular cantidades evaluando la razonabilidad del resultado y la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo;

* elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras

* comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s. </blockquote>

A continuación se presenta el análisis del capítulo de un libro para Quinto Grado de la Escuela Primaria. Se intentará analizar si lo propuesto puede ser efectivo a los fines del aprendizaje del contenido.

En la primera página del capítulo en el cual se tratará el tema de la medida, vemos el título que sintetiza lo que se estudiará: SiMeLa (Sistema Métrico Legal Argentino). Aquí ya vemos la primera contradicción con el Diseño Curricular, ya que se supone que SiMeLa constituye una herramienta de trabajo, no el eje del aprendizaje relacionado con la medición. Además, su uso supone un tiempo de construcción en los alumnos; no son simplemente tablas de conversiones que se utilizarán de acuerdo al tipo de medida con la que se trabaje y la que se necesite. En el índice al capítulo (o “Bloque”, como lo denomina el libro), vemos que hay 7 subunidades, módulos, que trabajarán distintos aspectos relacionados con la medida: medidas de longitud, medidas de superficie, medidas de capacidad, medidad de peso, proporcionalidad, escalas, medidas de tiempo. Se presenta una “situación- problema en estudio”, que en realidad constituye un problema para trabajar con la medición, y no tiene mucha relación con la idea de qué es “medir”, independientemente de la magnitud con la que se trabaje. Contiene, además, un apartado denominado “Estrategias en acción” que da una serie de pasos para resolver un problema: 1) Comprender el problema; 2) Determinar una estrategia para su resolución; 3) Aplicar la estrategia elegida; 4) Discutir, comparar y verificar la solución. Nos parece interesante esta serie de pasos a seguir y veremos si, a lo largo del capítulo, se presentan problemas que requieran de éstos para llegar a su resolución.

Aquí comienza el primer módulo: “Medidas de longitud”. Lo primero que aparece es un problema, en el cual se presentan tres medidas altura, de tres personas distintas, en tres unidades de medida distinta. Se pide el pasaje de todas estas alturas a metros y, la diferencia de altitud, en centímetros, entre el más alto y el más bajo. A continuación del problema aparece un gran recuadro, “EN TEORÍA”, donde se define lo que es medir (“expresar cuántas veces está contenida la unidad de medida en el objeto que se mide”), se dice en qué situación se usa cada unidad de medida, relacionada con la longitud, y por último se enuncian las tablas de convertibilidad, las de equivalencia y se muestran dos ejemplos de todo lo mencionado. Es interesante observar que el problema con el que comienza el módulo no es posible de ser resuelto a menos que el alumno tenga previamente los contenidos que se mostrarán posteriormente, o lea por su cuenta el material para resolver el ejercicio. En consecuencia, no queda muy en claro para qué aparece este problema primero, ya que no puede servir como “problema disparador”.

Problemas de aplicación. Los saberes que se ponen en práctica con estos ejercicios son simplemente: la capacidad del alumno para observar la tabla que se le dio en la página anterior, y realizar las cuentas pertinentes para convertir los metros en decímetros o en centímetros, etc. Se busca también el pasaje desde otros sistemas de medida (la pulgada, unidad de medida inglesa). Es interesante destacar que ya se presentan problemas que se resuelven mediante proporcionalidad y usando la famosa “regla de tres simple” a pesar de que el módulo le dedicará a este tema, unas páginas más adelante, un apartado individual.

Al igual de lo realizado para presentar las medidas de longitudes, el módulo “Medidas de superficie” comienza con un problema y luego da paso a un recuadro con toda la teoría (es decir, fórmulas) que deberá ser aplicada para resolver los problemas que a continuación se presentarán. Sin embargo, este primer problema podrá ser respondido sin conocer los datos que se presentarán más adelante, ya que las preguntas que deben contestarse guían al alumno en la resolución del ejercicio. Es interesante destacar cómo se hace hincapié en cómo se lee centímetro cuadrado o metro cuadrado, pero no se explica qué quiere decir ello.

El primer problema que se presenta se aparta del trabajo con las unidades de SiMeLa y se enfoca en la relación entre, por ejemplo, un cuadrado pequeño y uno más grande (“¿Cuántas veces entra el pequeño en el más grande?”) y así se busca la determinación de la superficie del cuadrado mayor. El siguiente problema presenta un dibujo, con las medidas de los lados a los costados y busca que los alumnos apliquen lo visto en el recuadro teórico, respondiendo a preguntas como la siguiente: ¿Cuántos m2 de alfombra se necesitan para alfombrar el living?

Por primera vez, el libro presenta un problema que se resuelve mediante la medición empírica, para luego calcular la superficie total de una figura. El problema no supone ninguna dificultad (en el caso de que ya se haya trabajado el cálculo de superficie de figuras regulares). Sin embargo, la idea de medir dibujos del libro alejan más la posible construcción futura de la idea de “figura de análisis”. El segundo problema de esta página presenta figuras irregulares. A su resolución se llegará a partir de la partición de esas figuras en otras regulares.

Última hoja de ejercicios sobre la medida de superficies. Sobre el primer problema que aparece, debemos destacar que presenta una dificultad mayor que los anteriormente mostrados. Sin embargo, las preguntas que se realizan indican el camino para resolver todo de la manera específica, no presentando ningún tipo de desafío intelectual para el alumno que vaya a resolver. Las preguntas que se plantean quizás serían más interesantes si el propio alumno se las pudiera plantear para resolver el ejercicio. Con toda la “orientación” que dan las preguntas, el problema deja de ser un problema. El segundo ejercicio es muy interesante, ya que comienza con una introducción acerca de los barcos y sus cargas, sobre piedras para hacer peso, etc. Se nota que se intenta salir del terreno estrictamente matemático. A pesar de ésto, las preguntas que hacen al ejercicio nada tienen que ver con lo se había contado anteriormente y responden a la misma dinámica de los ejercicios anteriores.

Comienza el módulo “Medidas de capacidad”. Se repite el mismo esquema: Problema inicial + Recuadro teórico.

Las actividades de esta página responden a la temática que representa simplemente tener que pasar capacidades de una unidad de medida a otra. La última busca que se marquen las equivalencias entre unidades de medida.

Aquí comienza el módulo sobre “Medidas de peso”. Con el mismo esquema, se presenta un problema (que no se puede resolver sin conocer la relación que existe entre gramos y kilogramos, o sin conocer el significado del prefijo kilo) y recuadro teórico, con las tablas de convertibilidad, de equivalencia y dos ejemplos.

Estos problemas presentan la exacta misma estructura que los problemas de los módulos de capacidad y longitud. Solo se pretende la conversión de unidades. Resulta interesante ver se que repiten todos los esquemas de trabajo entre el presente módulo y el anterior (de capacidad).

Para comenzar el siguiente módulo, “Proporcionalidad”, se presenta un problema, que resulta ser una simple actividad de multiplicación y división. A continuación, aparece el ya clásico recuadro teórico, que explica, en realidad, la manera más “práctica” y “mecánica” de resolver los ejercicios que presentará luego el libro sobre la materia.

El primer ejercicio consiste en una serie de preguntas, a responder por “Sí” o “No”, si existe proporción directa entre dos situaciones. Es un ejercicio de difícil resolución, que se separa de lo aritmético de la proporcionalidad. Es el primer ejercicio del Bloque que plantea un trabajo no aritmético. Los otros dos ejercicios de la página requieren la búsqueda de la “constante de proporcionalidad”, para completar unas tablas de proporcionalidad, en el caso de que sean ese tipo de tablas. Cabe destacar que la noción de “constante” no es mencionada por el libro, sino por nosotros para realizar el análisis del módulo.

Para introducir el Módulo “Escalas”, se presenta un problema que relaciona las nociones de longitud con las que se trabajaron previamente en el Bloque y, además, puede ser resuelto desde las nociones de proporcionalidad. A continuación se presenta el recuadro teórico.

En esta página comienzan (y terminan) los ejercicios de aplicación del módulo. De los 5 ejercicios que se presentan, 1 consiste en tomar medidas a partir de un gráfico y calcular los tamaños reales. Es interesante destacar que este tipo de ejercicio alejan a los niños de las nociones de “figuras de análisis”, contribuyendo aún más a arraigar en ellos la idea de que la imagen que se presenta es exactamente igual a la imagen representada (por ejemplo, si ven un triángulo y los lados parecen iguales, concluirán seguramente con que están trabajando con un triángulo equilátero). Los 3 ejercicios siguientes trabajan con calcular, a partir de la multiplicación y la división, los tamaños reales, a partir del conocimiento de las escalas de ampliación o reducción. El quinto y último ejercicio consiste en dibujar un rectángulo a partir de una figura dada y la escala a la que debe ser hecho. Reiteramos el comentario hecho para el primer ejercicio de esta página.

Completamente apartado de todas las otras medidas y de los otros temas que se derivaron del trabajo con la medida, aparece el último módulo, dedicado a la medida del tiempo. A esta altura ya no es necesario mencionar cómo es que comienza dicha sección.

Todos los ejercicios de esta página se dedican a realizar cuentas, de adición o sustracción, con el fin de que los alumnos practiquen el trabajo con el sistema sexagesimal, pasando segundos a minutos a horas, cuando corresponde.

En esta página se presentan ejercicios teóricos, que se responden fácilmente leyendo la teoría que, por supuesto, aparece en la primera página del módulo: decir cuántos años son dos décadas, cuántos medio siglo, cinco siglo, etc. Por último se presentan dos situaciones para pasar de minutos y horas a días y horas.

Aquí comienzan dos hojas de lo que será denominado, por el libro, “Integración”. En realidad, una integración supondría una serie de ejercicios que unieran, por lo menos algunos, saberes trabajados a lo largo del Bloque. Sin embargo, son ejercicios iguales a los que se presentaron previamente. Hay ejercicios de todos los módulos.

Esta última hoja se denomina “Autoevaluación”. Consiste en un ejercicio sobre cada Módulo del Bloque.

A continuación se reproduce, de manera textual, la planificación confeccionada por una docente de 5to grado, de un colegio privado de la C.A.B.A. Además, se agregan comentarios sobre algunas de las clases y el manual utilizado ¹⁾. <blockquote>Clase 1: Página 92. Ejercicio 1

-En parejas, deberán medir con un objeto diferente (regla, hoja A4, lapicera, pies, etc.) alguna parte del aula (marco de la puerta, pizarrón, banco, marco de la ventana, etc.).

- Realizaremos la puesta en común: ¿cuánto mide el objeto que midieron? ¿Sería posible medir el patio de la escuela con una regla? ¿Con qué instrumento cometeríamos menos errores? ¿Con qué unidad de medida medimos distancias muy grandes? ¿Y distancias pequeñas?

-En la carpeta: “La medida de longitud que utilizamos en nuestro país es el metro. Hay unidades mayores que el metro: el kilómetro, y unidades menores: el centímetro y el milímetro. </blockquote> Buena clase para comenzar a abordar la longitud. Sin embargo, falta una pregunta disparadora, o un problema, para introducir lo primero que harán. Las preguntas que se realizan son pertinentes y llevan a la reflexión sobre las diversas unidades de medida de longitud y acerca de los errores que pueden darse en una medición.

<blockquote>Clase 2: - Actividad oral entre todos: observá la regla que usás en clase. ¿Cuántos cm tiene? Entre el 0 y el 1 hay indicada otra medida: ¿Cuántas rayitas hay? ¿Qué indica cada rayita? ¿Cómo se llama esa medida? ¿Cuántos cms son 10 mm?

- A partir de la reflexión anterior, construiremos las equivalencias: 1cm= 10 mm 1 m= 100 cm 1 km= 1000m

-Ejercicios 1 y 2 de la página 93. </blockquote> La primera actividad es interesante para tratar la unidad menor al centímetro más común. Al trabajar con la regla, que los alumnos usan desde el comienzo de su actividad escolar de manera constante, se trabaja con las ideas previas que tienen ellos al respecto y con los conocimientos que fueron construyendo, de manera informal y formal, alrededor del tema.

Los ejercicios del libro son realizados al final de la clase. Busca el trabajo con las equivalencias entre las expresiones decimales y las fraccionarias y con la relación entre metros y centímetros.

<blockquote>Clase 3:

-La clase pasada estudiaron la unidad para estudiar longitudes, ¿qué unidad utilizamos para pesar? ¿Qué unidades utilizamos para pesarnos?

- Ejercicio 3 de la página 93 y el 6 de la página 94.

-Tarea: ejercicio 4 de la página 94.

</blockquote> Desde esta clase, se deja de trabajar con la longitud (a excepción de algunos ejercicios) y se pasa a medidas de otro tipo. Las propuestas didácticas ya no serán tan interesantes. A partir del trabajo con el tipo de forma de medir el propio peso, se trabaja, acertadamente, el cómo medir cualquier peso, y cuál es el patrón de medida.

<blockquote>Clase 4: -Ejercitación:

1) ¿Cuántos sobrecitos de 100gr de azúcar serán necesarios para formar 1 1/2kg de azúcar?

2) Completá la siguiente tabla:

3) ¿Cuánto es 6000m expresados en km? ¿Qué cálculos hiciste?

4) Ordená de menor a mayor las siguientes medidas: 2,05m 2,005m 2,5m 2,5mm 25mm

-Realizamos los siguientes ejercicios del libro: página 96, ejercicios 10, 11, 12, 13 y 14. </blockquote>

Clase de ejercitación sobre longitud y peso. Ejercicios de comparación de diversas unidades de medida. Principalmente, apuntan a la conversión de una unidad a otra. Los ejercicios del libro apuntan al trabajo con diversas unidades de medida, pero hacen constante hincapié en la explicación, en el por qué de las equivalencias, etc. Además, se trabaja con las relaciones entre las expresiones decimales y las unidades de medida. <blockquote>Clase 5:

-“Al igual que las otras unidades para medir peso y longitud, existe la unidad para medir la capacidad. La unidad utilizada es el litro”

1 l= 100cl

1 l= 1000ml

1000 l= 1kl.

-Ejercicios 7 y 8 de la página 95. </blockquote>

Se presenta la medición de volumen solo definiendo la unidad de medida y las relaciones equivalentes que posee. Como dijimos previamente, atrás quedó la búsqueda por introducir el tema de una manera más constructiva, y el método recuerda más a la pedagogía tradicional. No hay relación con los saberes previos y con los conocimientos cotidianos que puedan traer los alumnos. El primer ejercicio del libro resulta interesante por combinar los pasajes de unidades de volumen con otra relación variable, como resulta el precio por cantidad de producto. Para resolverlo se busca el trabajo con reglas de proporcionalidad directa. El segundo, por su parte, se busca comparar medidas en distintas magnitudes. Se busca, nuevamente, una explicación acerca de lo hecho. Considero ésto muy acertado ya que permite a los alumnos detenerse en que lo que hicieron no es algo “mecánico” sino que requiere de una reflexión mental. Al tener que volcarlo al papel pueden ordenar mejor sus ideas y nociones sobre el tema y ésto puede llevarlos a percibir qué aspectos no se tienen tan claros y cuáles sí. <blockquote>Clase 6:

-Ejercitación:

1) La altura de una puerta es de 2,25m. Indicá cuál o cuáles de las siguientes magnitudes representan también esa medida. 2m+25cm 2m+25/100 m 2m+25dm 2m+2dm+5cm 2 25/10m 2m+0,2m+0,05m 2) ¿Cuántas pesas de 10g necesito para armar 1kg? ¿Por qué? 3) De una tela de 2,5m ya se usaron 3/4m para hacer una pollera y 50cm para unos breteles. ¿Cuánta tela queda por usar? 4) Decidí si estas afirmaciones son V o F y explicá por qué. a) 1/10m son 10cm b) 1km equivale a 100m c) En 1km entran 10.000cm d) 1000g es equivalente a 1kg e) 1mg es la milésima parte de 1g.

-Ejercicios del libro: 15, 16 y 17. </blockquote>

Ejercicios de equivalencias, entre distintas unidades de medida y entre fracciones y decimales. Se piden explicaciones en el verdadero o falso que parecen apuntar sobre todo a una enunciación de las reglas de equivalencias que existen entre unidades de medida. Los ejercicios del libro siguen la misma línea que venían teniendo. <blockquote>Clase 7: -Ejercicios 3, 4 y 5 página 107. -Además de medir la longitud, el peso y la capacidad, ¿qué otras cosas se pueden medir? En el caso del tiempo, ¿las unidades son iguales a las que estudiamos anteriormente? ¿Es un sistema decimal? ¿Por qué? 1hora= 60 minutos 1/4hora= 15 minutos 1/2hora= 30 minutos 3/4hora= 45 minutos 1 minuto= 60 segundos

-Ejercicios 1y 2 de la página 97.

Problemas: 1) Escribí de otra forma el tiempo que se menciona en cada oración: a) Corrió durante 75 segundos. b) El casete dura 90 minutos. c) El bebé tiene 24 meses. d) El cheque es a 60 días. e) Hago reposo durante 72hs.

2) Belén se fue de paseo con unas amigas y calculó: “El vaje de ida y vuelta duró 1h 35 mins y paseamos durante 4hs 45mins, o sea que estuvimos 6hs fuera de casa”. ¿Es correcto el cálculo? Escribí cómo lo pensaste.

3) Anoche grabé un recital. Puse la videocasetera para que comience a grabara a las 20:15 hs y terminará a las 22:15hs. ¿Cuánto tiempo estuvo grabando? ¿Y si la hubiera puesto para que terminara a las 23:15hs?

</blockquote>

La medición del tiempo. Trabajo, oral, con las diferencias entre el sistema decimal y el utilizado para medir el tiempo; el sistema sexagesimal. Trabajar sobre esta diferencia es muy acertado. El primer ejercicio que plantea la maestra pretende simplemente la conversión de unidades de medida. Ciertamente da lo mismo si se refiere a un “bebé” que tiene 24 meses o a cualquier otra cosa. El segundo ejercicio pretende la resolución de cálculos en este nuevo sistema de medida, que representará sin lugar a dudas una dificultad para los alumnos. Sería interesante trabajar este tema con un reloj de agujas, presente en el aula todo el tiempo. El tercer ejercicio parece muy sencillo, por el hecho de que, al tratarse de un manejo de tiempo tan cotidiano, los alumnos pueden resolverlo fácilmente. Podría complejizarse. Los ejercicios del libro no son analizados ya que no poseemos esas páginas.

La planificación posee dos clases más, pero consiste en realizar actividades del manual. Por no poseer esas páginas, las mismas no pueden ser analizadas.

A partir de las observaciones realizadas en el análisis de los dos manuales (y una planificación) es posible ya imaginar los comentarios que serán realizados. Empero, parece pertinente realizar unos comentarios previos al estudio con los textos oficiales. En primer lugar, un manual de texto es un libro que servirá de “ayuda” en una secuencia didáctica. Nunca se debe definir el trabajo a partir de lo que es propuesto por el manual. Por ésta razón, sin tener una secuencia didáctica de aplicación, solo podemos “suponer” que un libro será o no útil para el trabajo sobre un tema. De acuerdo a ésto, no podremos concluir de ninguna que manera que un libro es “bueno” o “malo” para la enseñanza de contenidos escolares. Porque si un docente utiliza un libro solo para realizar los ejercicios, sin tomar la teoría que éste ofrece, y sistematizar ciertas relaciones, no hay razón para pensar que el primer manual utilizado no sería efectivo. Por otro lado, al conseguir la planificación, la docente hizo ciertos comentarios sobre el tema que serán reproducidos a continuación, de manera no textual. Se recuerda que se está hablando de 5to grado:

• el tema de la medida se trabaja a fin de año, en las últimas clases, ya que antes los alumnos deben haber trabajado y “dominado” el sistema decimal, el uso de fracciones y la proporcionalidad;
• los ejercicios del libro eran muy difíciles y en algunos casos, si bien los incluía en la planificación, luego no los utilizaba.

El primer manual matemática utilizado, poco responde a los objetivos planteados por el DC para la enseñanza de la medida: el hincapié está puesto en las unidades de medida (“SiMeLa” es el nombre del capítulo). No existe la noción de medir como comparación de medidas, a menos que ésto sea entendido como “convertir de cm a metros” -por dar un ejemplo-. No se menciona en ningún momento la idea de que la medición es siempre aproximada. No existe un trabajo de articulación entre aritmética y geometría: solo se hace foco en la primera. La segunda aparece de manera accesoria. Resolver un ejercicio con triángulos y cuadrados no puede traducirse en trabajar en aquella área. El concepto de área no es abordado como propone el DC “a partir de dos conceptos fundamentales: la distinción entre el área y el perímetro, y la medida de áreas por medio de comparaciones directas o utilizando diversas superficies como unidades de medida.” En ningún momento este manual se detiene en la idea de “aproximación” propia de la medida, en la que tanto debería uno detenerse para la enseñanza éste tema. Haciendo eje en los contenidos a trabajar en quinto grado según el documento oficial, solo podemos mencionar un punto con el que cumple el libro: “resolución de problemas que impliquen la determinación de duraciones. Cálculo usando horas, minutos y segundos.” Tomando en cuenta los objetivos planteados para la medida en otra sección del presente trabajo, debemos concluir en que no pareciera que a los mismos se llegara realizando las actividades propuestas por el primer manual. Los ejercicios no apuntan a tomar decisiones acerca de qué medida usar de acuerdo al contexto, menos a juzgar si los resultados que se obtienen son “razonables”. El trabajo de elaboración de escalas podría constituir una excepción, quizás porque su confección es planteada tanto en el diseño como en el manual como algo de resolución “mecánica”. Sin embargo, si falta un trabajo de noción de distancias, longitudes, pesos, etc. es muy difícil que exista una exitosa “lectura de escalas”, una posibilidad de percepción de qué es en realidad lo que se está representando. El libro no utiliza en ningún momento la medición por comparación. Nunca invita a los alumnos a elegir la unidad de medida; siempre la impone. Parece pertinente concluir en que el manual analizado no es apropiado para trabajar la medida. Al menos no sirve si se quiere responder a los objetivos planteados por el DC (y los otros documentos oficiales) y se pretende llegar a un entendimiento amplio de lo que es la medida.

El segundo manual utilizado comprende una lógica de trabajo completamente distinta al anterior. En primer lugar, queda claro que ubica al libro en el lugar de “medio para la ejercitación” y no imparte teoría, como hacía el otro. La utilidad o no del mismo, entonces, queda supeditada a la planificación del/ la docente que lo vaya a utilizar para trabajar con el grupo. Ésto permite alejar, por un lado, al libro acerca de la responsabilidad en el aprendizaje y además, supone un compromiso mayor del docente con la tarea de enseñanza. No parece apresurado concluir que existe una diferencia sustancial entre el docente que elige el primer manual, que podría ser utilizado para una planificación conductista (no se está diciendo que éste sea el único uso para darle). El segundo libro requiere de un conocimiento más avanzado y fuerte en los alumnos. En ésto hizo mucho hincapié la docente entrevista al señalar que no podía trabajar con ese tema y ese libro sin antes haber visto con intensidad contenidos decimales, fraccionarios, proporcionalidad, etc. El primer libro presenta los contenidos fragmentados, no permite una comprensión global de las nociones de medida. Si los contenidos se dan escindidos, es muy difícil que el niño pueda aprender la medida del tiempo, de la longitud, de volumen, etc. como partes de un todo. La planificación estudiada es una gran representación de lo que es hoy en día la educación argentina: un medio camino entre la educación tradicional, conductista, y la moderna, constructivista. Se plantean actividades que intentan construir la noción de qué es medir, cuál es la relación entre milímetro, centímetro y metro. Sin embargo, pronto las actividades pasan a ser más conductistas, presentando definiciones sin un trabajo que permita la construcción de las mismas. La docente termina presentando las conversiones entre unidades de medida y después pide que realicen los ejercicios presentados por el libro. Los ejercicios del libro intentan con mayor éxito (seguramente éste se lo proponga, a diferencia del manual anterior) responder a las ideas que trabaja el DC. Muchas actividades trabajan la medida a partir de la comparación. Sin embargo, sin un correcto trabajo a nivel docente-alumnos es muy difícil que con ellos se llegue a percibir relaciones entre unidades de medida en un sentido más empírico y no solo de conversión. Es necesario destacar que ni el libro ni la planificación hacen hincapié en el carácter del error en la medida. Sin embargo, y ésto parece fundamental, el libro hace constantemente hincapié en explicar, razonar, justificar todos los procedimientos llevados a cabo en los ejercicios. Realizar ejercicios reflexionando sobre lo que se está haciendo es fundamental para cualquier tipo de aprendizaje. Ayuda a juzgar la razonabilidad de los procedimientos y, así, permitirá a los alumnos volver sobre los propios pasos para encontrar posibles errores, juzgar si los resultados son lógicos, etc. La planificación estudiada responde a las propuestas del DC al trabajar en la comparación de longitudes mediante diferentes recursos; además, se trabaja las relaciones entre metro, centímetro y kilómetro tal y como lo pretende el Diseño.

Parece necesario concluir que ningún libro puede ser sentenciado de manera definitiva sin conocer la propuesta en la que se inserta. En nuestros casos de análisis, el libro puede funcionar como gran acompañante de una gran propuesta, pero si la misma decae, el libro solo no puede hacer mucho por el proceso de enseñanza-aprendizaje. Sin embargo, creemos pertinente destacar que es necesario que los manuales comiencen a proponer actividades de reflexión, que trabajen con la medida de acuerdo a las propuestas dadas por el Diseño (mencionadas aquí en la Introducción). Si bien el libro no debe ser la planificación en sí del docente, el acercamiento de éste con lo dicho en los documentos oficiales ayudará al docente a modernizar su enseñanza y no sentirá sus posibles ideas tan ajenas a lo que presentan los manuales.

Es bien sabido por quienes trabajamos en el ámbito de la educación primaria (ya sea directamente en ella o través de la formación de nuevos docentes), que existe una gran distancia entre las propuestas que traen el Diseño Curricular y los NAPs y lo que realmente sucede en el aula y presentan los manuales. Las propuestas del Diseño se enfocan exclusivamente en lo Didáctico, y poco tienen en cuenta sobre las condiciones reales de aprendizaje que se da en un aula. Hoy está “de moda” hablar del constructivismo, de ser constructivistas, pero lo cierto es que, en la práctica, el modo de enseñanza sigue siendo tradicional. Todos, o la mayoría, crecimos bajo este modelo y es muy difícil despegarnos de él. Cuando tenemos que sentarnos a planificar, es casi imposible que las primeras que vengan a la cabeza no estén relacionadas con lo que aprendimos durante 13 años (la cantidad de años obligatorios para llegar a la educación terciaria; inicial, primaria, secundaria). Hay que ir en contra del propio “sentido común” para no enseñar SiMeLa al hablar de enseñanza de la medida. Por esta razón, por más buena voluntad que pongamos, por más de acuerdo que estemos con un tipo de enseñanza nuevo, no podemos negar quiénes somos, ni de dónde venimos. Debemos aceptar lo que traemos de nuestra propia casa, de nuestra propia escuela… de nuestra propia cultura. La que construimos día a día, viviendo donde vivimos, cómo vivimos y en el contexto socio-histórico particular. Debemos aceptarla y trabajar a partir de ella. Reflexionando sobre la misma y comprendiendo sus desventajas frente a otras formas de enseñar. La relación entre la medida, la geometría y la sociedad existe. Existe porque la medida forma parte del “Curriculum” que se debe enseñar en la escuela. La escuela es una gran representante de la sociedad en la que vivimos. Entonces, la medida y la sociedad, nos guste o no, están relacionadas.

Relacionadas al punto que quienes escribirían nuestro Diseño Curricular hoy, no serían, y por consiguiente no escribirían, los mismos que quienes lo hicieron en 2004. ¿Ésto quiere decir que cuando salga un nuevo DC vamos a empezar a enseñar de otra forma? Quizás. Si aparecen propuestas superadoras al actual, seguramente. Si se busca volver atrás, a un modelo más tradicional, esperemos que no. Lo que hay que tener en cuenta, sobre lo que hay que reflexionar constantemente es acerca de lo que creemos que es educar BIEN. En mayúscula. Es difícil… es difícil pensar en trabajar la medida sin hacer simplemente ejercicios de conversión…¡Si así lo hicimos siempre! Sin embargo, luego de meses de intenso trabajo, pudimos comenzar, de a poco, a paso de hormiga quizás (más despacio que lo que se debe haber planeado) a pensar que existía otra manera. Una manera, quizás no más “constructivista” (o sí, el término es lo de menos), pero sí mejor. Porque apunta a la REFLEXIÓN. En mayúscula. En el ámbito de la reflexión es donde deberíamos posicionarnos en la escuela primaria. Porque razonar, reflexionar, pensar es algo que se trabaja (o se debiera trabajar) en todas las áreas, desde Educación Física hasta Lengua, pasando por todas las otras instancias curriculares. Un niño que puede elegir entre una unidad de medida u otra, y puede justificar su elección, es un niño que hizo un avance enorme en su proceso de aprendizaje. Porque ese niño avanzó en el aprender a pensar, a expresarse, a elegir. Y todo éso es lo que nos hace libres. Ésto dicho, leído rápidamente, puede sonar Y la libertad es el objetivo mayor y último de la escuela primaria.

* AAVV, “Diseño curricular para la escuela primaria”, Segundo Ciclo de la Escuela Primaria / EGB, Tomo 2, CABA, 2004.

* AAVV, Matemática : Segundo Ciclo EGB/nivel primario 5. Núcleos de Aprendizajes Prioritarios NAP. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. CABA, 2007.

* Ponce, Héctor. “Ese complejo problema llamado medida” en Enseñar y aprender matemática. Ediciones Novedades Educativas. Bs. As., 2000.

* Chemello, G; Agrasar, M; Díaz, A. Los libros DE 5º: Matemática.Longseller. C.A.B.A., 2004.

* Manual de Matemática de 5º

* Apuntes de clase.